The book "Основания геометрии" (Foundations of Geometry) by Nikolai Lobachevsky is a groundbreaking work that revolutionized the field of geometry and had a profound impact on the development of modern mathematics. The first part of the book presents a detailed exposition of Lobachevsky's geometry, which forms the foundation of modern geometry and justifies all of mathematics. This part is divided into four chapters, each of which explores a different aspect of Lobachevsky's theory. Chapter 1 introduces the concept of non-Euclidean geometry, which challenges the traditional Euclidean understanding of space and paves the way for a more comprehensive and accurate understanding of spatial relationships. Chapter 2 delves into the properties of hyperbolic space, including the concept of parallel lines and the curvature of space. Chapter 3 explores the implications of hyperbolic space on the study of triangles and other geometric figures, while Chapter 4 examines the applications of hyperbolic geometry in physics and engineering. The second part of the book focuses on the historical development of geometry, from ancient Greek mathematicians to modern times.

Книга «Основания геометрии» (Основы геометрии) Николая Лобачевского - новаторская работа, которая произвела революцию в области геометрии и оказала глубокое влияние на развитие современной математики. В первой части книги представлено подробное изложение геометрии Лобачевского, которое составляет основу современной геометрии и оправдывает всю математику. Эта часть разделена на четыре главы, каждая из которых исследует разный аспект теории Лобачевского. Глава 1 вводит концепцию неевклидовой геометрии, которая бросает вызов традиционному евклидову пониманию пространства и открывает путь к более полному и точному пониманию пространственных отношений. Глава 2 углубляется в свойства гиперболического пространства, включая понятие параллельных прямых и кривизну пространства. В главе 3 рассматриваются последствия гиперболического пространства для изучения треугольников и других геометрических фигур, в то время как в главе 4 рассматриваются применения гиперболической геометрии в физике и технике. Вторая часть книги посвящена историческому развитию геометрии, от древнегреческих математиков до современности.

livre s fondements de la géométrie de Nikolaï Lobachevski est un travail novateur qui a révolutionné la géométrie et a eu un impact profond sur le développement des mathématiques modernes. La première partie du livre présente une description détaillée de la géométrie de Lobachevsky, qui constitue la base de la géométrie moderne et justifie toutes les mathématiques. Cette partie est divisée en quatre chapitres, chacun explorant un aspect différent de la théorie de Lobachevsky. chapitre 1 introduit le concept de géométrie non euclidienne, qui remet en question la compréhension euclidienne traditionnelle de l'espace et ouvre la voie à une compréhension plus complète et plus précise des relations spatiales. chapitre 2 explore les propriétés de l'espace hyperbolique, y compris la notion de droites parallèles et la courbure de l'espace. chapitre 3 traite des implications de l'espace hyperbolique pour l'étude des triangles et d'autres figures géométriques, tandis que le chapitre 4 traite des applications de la géométrie hyperbolique en physique et en technique. La deuxième partie du livre est consacrée au développement historique de la géométrie, des mathématiciens grecs anciens à la modernité.

libro «Fundamentos de la geometría» (Fundamentos de la geometría) de Nikolái Lobachevsky es una obra pionera que revolucionó el campo de la geometría e influyó profundamente en el desarrollo de las matemáticas modernas. La primera parte del libro presenta una detallada exposición de la geometría de Lobachevsky, que constituye la base de la geometría moderna y justifica todas las matemáticas. Esta parte está dividida en cuatro capítulos, cada uno de los cuales explora un aspecto diferente de la teoría de Lobachevsky. capítulo 1 introduce el concepto de geometría no euclidiana, que desafía la comprensión euclidiana tradicional del espacio y abre el camino a una comprensión más completa y precisa de las relaciones espaciales. capítulo 2 profundiza en las propiedades del espacio hiperbólico, incluyendo el concepto de rectas paralelas y la curvatura del espacio. En el capítulo 3 se examinan las implicaciones del espacio hiperbólico para el estudio de triángulos y otras figuras geométricas, mientras que en el capítulo 4 se examinan las aplicaciones de la geometría hiperbólica en física y técnica. La segunda parte del libro trata del desarrollo histórico de la geometría, desde los antiguos matemáticos griegos hasta la modernidad.

O livro «Fundamentos da geometria», de Nikolai Lobachevsky, é um trabalho inovador que revolucionou a geometria e influenciou profundamente o desenvolvimento da matemática moderna. A primeira parte do livro apresenta uma descrição detalhada da geometria de Lobachevsky, que é a base da geometria moderna e justifica toda a matemática. Esta parte é dividida em quatro capítulos, cada um dos quais explora um aspecto diferente da teoria de Lobachevsky. O capítulo 1 introduz o conceito de geometria não-euclides, que desafia a compreensão tradicional do espaço euclides e abre caminho para uma compreensão mais completa e precisa das relações espaciais. O capítulo 2 aprofunda as propriedades do espaço hiperbólico, incluindo o conceito de retas paralelas e curvatura do espaço. O capítulo 3 aborda os efeitos do espaço hiperbólico no estudo de triângulos e outras formas geométricas, enquanto o capítulo 4 aborda as aplicações da geometria hiperbólica na física e na técnica. A segunda parte do livro é sobre o desenvolvimento histórico da geometria, desde os matemáticos gregos antigos até aos tempos modernos.

Il libro « basi della geometria» di Nikolai Lobaczewski è un lavoro innovativo che ha rivoluzionato la geometria e ha influenzato profondamente lo sviluppo della matematica moderna. La prima parte del libro presenta una descrizione dettagliata della geometria di Lobaczewski, che costituisce la base della geometria moderna e giustifica tutta la matematica. Questa parte è divisa in quattro capitoli, ognuno dei quali esamina un aspetto diverso della teoria di Lobaczewski. Il capitolo 1 introduce il concetto di geometria non euclidea, che sfida la comprensione tradizionale dello spazio euclideo e apre la strada a una comprensione più completa e precisa delle relazioni spaziali. Il capitolo 2 approfondisce le proprietà dello spazio iperbolico, compreso il concetto di rettilineo parallelo e la curvatura dello spazio. Il capitolo 3 affronta gli effetti dello spazio iperbolico sullo studio di triangoli e altre forme geometriche, mentre il capitolo 4 affronta le applicazioni della geometria iperbolica nella fisica e nella tecnica. La seconda parte è dedicata allo sviluppo storico della geometria, dagli antichi matematici greci alla modernità.

Das Buch „Grundlagen der Geometrie“ (Grundlagen der Geometrie) von Nikolai Lobatschewski ist ein bahnbrechendes Werk, das das Gebiet der Geometrie revolutioniert und die Entwicklung der modernen Mathematik tiefgreifend beeinflusst hat. Der erste Teil des Buches präsentiert eine detaillierte Darstellung der Geometrie von Lobachevsky, die die Grundlage der modernen Geometrie und rechtfertigt die gesamte Mathematik. Dieser Teil ist in vier Kapitel unterteilt, von denen jedes einen anderen Aspekt von Lobachevskys Theorie untersucht. Kapitel 1 führt das Konzept der nichteuklidischen Geometrie ein, das das traditionelle euklidische Verständnis von Raum in Frage stellt und den Weg für ein vollständigeres und genaueres Verständnis räumlicher Beziehungen ebnet. Kapitel 2 befasst sich mit den Eigenschaften des hyperbolischen Raums, einschließlich des Konzepts der parallelen Geraden und der Krümmung des Raums. Kapitel 3 untersucht die Auswirkungen des hyperbolischen Raums auf die Untersuchung von Dreiecken und anderen geometrischen Formen, während Kapitel 4 die Anwendungen der hyperbolischen Geometrie in Physik und Technik untersucht. Der zweite Teil des Buches widmet sich der historischen Entwicklung der Geometrie, von den antiken griechischen Mathematikern bis zur Gegenwart.

Książka Nikołaja Łobaczewskiego „Fundamenty geometrii” to nowatorskie dzieło, które zrewolucjonizowało dziedzinę geometrii i miało ogromny wpływ na rozwój nowoczesnej matematyki. Pierwsza część książki przedstawia szczegółową ekspozycję geometrii Łobaczewskiego, która stanowi podstawę współczesnej geometrii i uzasadnia wszelką matematykę. Ta część podzielona jest na cztery rozdziały, z których każdy bada inny aspekt teorii Łobaczewskiego. Rozdział 1 wprowadza koncepcję geometrii nieeuklidesowej, która kwestionuje tradycyjne euklidesowe zrozumienie przestrzeni kosmicznej i toruje drogę do bardziej kompletnego i dokładnego zrozumienia relacji przestrzennych. Rozdział 2 zagłębia się w właściwości przestrzeni hiperbolicznej, w tym pojęcie linii równoległych i krzywizny przestrzeni. Rozdział 3 bada wpływ przestrzeni hiperbolicznej na badania trójkątów i innych kształtów geometrycznych, natomiast rozdział 4 bada zastosowania geometrii hiperbolicznej w fizyce i inżynierii. Druga część książki poświęcona jest historycznemu rozwojowi geometrii, od starożytnych matematyków greckich po teraźniejszość.

הספר ”יסודות הגאומטריה” (Fundamentals of Geometry) מאת ניקולאי לובצ 'בסקי הוא יצירה חדשנית שחוללה מהפכה בתחום הגאומטריה והייתה לה השפעה עמוקה על התפתחות המתמטיקה המודרנית. החלק הראשון של הספר מציג אקספוזיציה מפורטת של הגאומטריה של לובצ 'בסקי, המהווה את הבסיס לגאומטריה המודרנית ומצדיק את כל המתמטיקה. חלק זה מחולק לארבעה פרקים, שכל אחד מהם חוקר היבט שונה של התיאוריה של לובצ 'בסקי. פרק 1 מציג את מושג הגאומטריה הלא-אוקלידית, המאתגר את ההבנה האוקלידית המסורתית של המרחב וסולל את הדרך להבנה מלאה ומדויקת יותר של יחסים מרחביים. פרק 2 מתעמק בתכונות של מרחב היפרבולי, כולל הרעיון של קווים מקבילים ועקמומיות המרחב. פרק 3 בוחן את ההשלכות של מרחב היפרבולי לחקר משולשים וצורות גאומטריות אחרות, בעוד פרק 4 בוחן יישומים של גאומטריה היפרבולית בפיזיקה ובהנדסה. החלק השני של הספר מוקדש להתפתחות ההיסטורית של הגאומטריה, ממתמטיקאים יוונים עתיקים ועד ימינו.''

Nikolai Lobachevsky'nin "Geometrinin Temelleri" (Geometrinin Temelleri) kitabı, geometri alanında devrim yaratan ve modern matematiğin gelişimi üzerinde derin bir etkisi olan yenilikçi bir çalışmadır. Kitabın ilk bölümü, modern geometrinin temelini oluşturan ve tüm matematiği haklı çıkaran Lobachevsky'nin geometrisinin ayrıntılı bir açıklamasını sunar. Bu bölüm, her biri Lobachevsky'nin teorisinin farklı bir yönünü araştıran dört bölüme ayrılmıştır. Bölüm 1, geleneksel Öklid uzay anlayışına meydan okuyan ve mekansal ilişkilerin daha eksiksiz ve doğru bir şekilde anlaşılmasına yol açan Öklid dışı geometri kavramını tanıtmaktadır. Bölüm 2, paralel çizgiler kavramı ve uzayın eğriliği de dahil olmak üzere hiperbolik uzayın özelliklerini inceler. Bölüm 3, hiperbolik uzayın üçgenlerin ve diğer geometrik şekillerin incelenmesi için etkilerini incelerken, Bölüm 4, hiperbolik geometrinin fizik ve mühendislikteki uygulamalarını inceler. Kitabın ikinci bölümü, eski Yunan matematikçilerinden günümüze geometrinin tarihsel gelişimine ayrılmıştır.

كتاب «أسس الهندسة» (أساسيات الهندسة) من تأليف نيكولاي لوباتشيفسكي هو عمل مبتكر أحدث ثورة في مجال الهندسة وكان له تأثير عميق على تطوير الرياضيات الحديثة. يقدم الجزء الأول من الكتاب عرضًا مفصلاً لهندسة لوباتشيفسكي، والتي تشكل أساس الهندسة الحديثة وتبرر جميع الرياضيات. ينقسم هذا الجزء إلى أربعة فصول، يستكشف كل منها جانبًا مختلفًا من نظرية لوباتشيفسكي. يقدم الفصل 1 مفهوم الهندسة غير الإقليدية، الذي يتحدى الفهم الإقليدي التقليدي للفضاء ويمهد الطريق لفهم أكثر اكتمالا ودقة للعلاقات المكانية. يتعمق الفصل 2 في خصائص الفضاء الزائدي، بما في ذلك مفهوم الخطوط المتوازية وانحناء الفضاء. يبحث الفصل 3 في آثار الفضاء الزائدي على دراسة المثلثات والأشكال الهندسية الأخرى، بينما يفحص الفصل 4 تطبيقات الهندسة الزائدية في الفيزياء والهندسة. الجزء الثاني من الكتاب مخصص للتطور التاريخي للهندسة، من علماء الرياضيات اليونانيين القدامى إلى الوقت الحاضر.

Nikolai Lobachevsky의 "기하학의 기초" (기하학의 기초) 라는 책은 기하학 분야에 혁명을 가져 왔으며 현대 수학의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다. 이 책의 첫 번째 부분은 현대 기하학의 기초를 형성하고 모든 수학을 정당화하는 Lobachevsky의 기하학에 대한 자세한 설명을 제시합니다. 이 부분은 4 개의 챕터로 나뉘며 각각 Lobachevsky 이론의 다른 측면을 탐구합니다. 1 장에서는 공간에 대한 전통적인 유클리드 이해에 도전하고 공간 관계에 대한보다 완전하고 정확한 이해를위한 길을 열어주는 비 유클리드 기하학의 개념을 소개합니다. 2 장은 평행선의 개념과 공간의 곡률을 포함하여 쌍곡선 공간의 특성을 탐구합니다. 3 장에서는 삼각형 및 기타 기하학적 형태 연구를위한 쌍곡선 공간의 의미를 조사하고 4 장에서는 물리 및 공학에서 쌍곡선 기하학의 응용을 조사합니다. 이 책의 두 번째 부분은 고대 그리스 수학자에서 현재에 이르기까지 기하학의 역사적 발전에 전념하고 있습니다.

ニコライ・ロバチェフスキーの著書『幾何学の基礎』は、幾何学の分野に革命をもたらし、現代数学の発展に大きな影響を与えた革新的な作品です。本の最初の部分は、現代の幾何学の基礎を形成し、すべての数学を正当化するロバチェフスキーの幾何学の詳細な博覧会を提示します。この部分は4つの章に分かれており、それぞれがロバチェフスキーの理論の異なる側面を探求している。第1章では、空間の伝統的なユークリッド理解に挑戦し、空間関係のより完全で正確な理解のための道を開く非ユークリッド幾何学の概念を紹介します。第2章では、平行線の概念や空間の曲率など、双曲線空間の性質について考察する。第3章では、三角形やその他の幾何学的形状の研究における双曲線空間の影響を検討し、第4章では、物理学と工学における双曲線形学の応用について検討する。この本の第二部は、古代ギリシアの数学者から現在までの幾何学の歴史的発展に捧げられている。

尼古拉·洛巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）的《幾何基礎》（幾何基礎）一書是革新幾何領域的開創性著作，對現代數學的發展產生了深遠的影響。該書的第一部分詳細介紹了Lobachevsky的幾何形狀，該幾何形狀構成了現代幾何的基礎並證明了所有數學都是合理的。這部分分為四章，每章探討洛巴切夫斯基理論的不同方面。第一章介紹了非歐幾裏得幾何的概念，該概念挑戰了傳統的歐幾裏得對空間的理解，並為更全面和準確地理解空間關系開辟了道路。第二章深入研究雙曲空間的性質，包括平行直和空間曲率的概念。第3章討論了雙曲空間對三角形和其他幾何形狀的研究的影響，而第4章則討論了雙曲幾何在物理和技術中的應用。本書的第二部分涉及幾何的歷史發展，從古希臘數學家到現代。