The book is divided into 10 chapters, each of which presents a new topic or problem. Each chapter begins with a brief overview of the main results and techniques needed to understand the topics discussed in the chapter. The author emphasizes the importance of studying and understanding the development of technology and its impact on society throughout history. He argues that this understanding is essential for the survival of humanity and the unity of people in a world torn apart by conflict. The first chapter introduces the concept of algebraic numbers and their properties, including the fundamental theorem of algebra, which states that every non-constant polynomial equation has at least one complex root. The second chapter explores the Galois group of a polynomial equation and its relationship to the solvability of the equation by radicals. The third chapter discusses the ideal class group of an algebraic number field and its connection to the arithmetic of the field. The fourth chapter examines the Hasse-Muller theorem, which provides a necessary and sufficient condition for a number field to be a Galois extension of the rational numbers. The fifth chapter discusses the Brauer group of an algebraic number field and its relationship to the class group. The sixth chapter explores the theory of elliptic curves and modular forms, which are important tools in modern number theory. The seventh chapter discusses the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, which relates the arithmetic of an elliptic curve to the geometry of its associated modular variety. The eighth chapter presents the Taniyama-Shimura conjecture, which states that every elliptic curve over the rational numbers can be defined over the real numbers. The ninth chapter discusses the modularity theorem, which establishes a deep connection between the theory of elliptic curves and modular forms.

Книга разделена на 10 глав, в каждой из которых представлена новая тема или проблема. Каждая глава начинается с краткого обзора основных результатов и методов, необходимых для понимания тем, обсуждаемых в главе. Автор подчеркивает важность изучения и понимания развития технологий и их влияния на общество на протяжении всей истории. Он утверждает, что это понимание имеет важное значение для выживания человечества и единства людей в мире, раздираемом конфликтами. Первая глава вводит понятие алгебраических чисел и их свойств, включая фундаментальную теорему алгебры, которая утверждает, что каждое неконстантное полиномиальное уравнение имеет по меньшей мере один комплексный корень. Во второй главе исследуется группа Галуа полиномиального уравнения и её связь с разрешимостью уравнения радикалами. В третьей главе обсуждается идеальная группа классов алгебраического числового поля и её связь с арифметикой поля. В четвёртой главе рассматривается теорема Хассе - Мюллера, которая обеспечивает необходимое и достаточное условие для того, чтобы числовое поле было расширением Галуа рациональных чисел. В пятой главе обсуждается группа Брауэра алгебраического числового поля и её отношение к группе классов. Шестая глава исследует теорию эллиптических кривых и модулярных форм, которые являются важными инструментами в современной теории чисел. В седьмой главе обсуждается гипотеза Бёрча и Свиннертона - Дайера, связывающая арифметику эллиптической кривой с геометрией ассоциированного с ней модулярного многообразия. Восьмая глава представляет гипотезу Таниямы - Симуры, которая утверждает, что любая эллиптическая кривая над рациональными числами может быть определена над вещественными числами. В девятой главе обсуждается теорема о модульности, устанавливающая глубокую связь между теорией эллиптических кривых и модулярными формами.

livre est divisé en 10 chapitres, chacun présentant un nouveau sujet ou problème. Chaque chapitre commence par un bref aperçu des principaux résultats et des méthodes nécessaires pour comprendre les sujets abordés dans le chapitre. L'auteur souligne l'importance d'étudier et de comprendre le développement des technologies et leur impact sur la société tout au long de l'histoire. Il affirme que cette compréhension est essentielle à la survie de l'humanité et à l'unité des hommes dans un monde déchiré par les conflits. premier chapitre introduit la notion de nombres algébriques et leurs propriétés, y compris le théorème fondamental de l'algèbre, qui affirme que chaque équation polynomiale non constantielle a au moins une racine complexe. deuxième chapitre examine le groupe de Galois de l'équation polynomiale et son lien avec la résolution de l'équation par les radicaux. troisième chapitre traite du groupe idéal de classes de champs numériques algébriques et de son lien avec l'arithmétique du champ. quatrième chapitre traite du théorème de Hasse-Mueller, qui fournit une condition nécessaire et suffisante pour que le champ numérique soit une extension de Galois des nombres rationnels. cinquième chapitre traite du groupe Brower du champ numérique algébrique et de son rapport au groupe de classes. sixième chapitre explore la théorie des courbes elliptiques et des formes modulaires, qui sont des outils importants dans la théorie moderne des nombres. septième chapitre traite de l'hypothèse de Burch et de Swinnerton-Dyer, qui relie l'arithmétique de la courbe elliptique à la géométrie de la diversité modulaire associée. huitième chapitre présente l'hypothèse de Taniyama-mura, qui affirme que toute courbe elliptique au-dessus des nombres rationnels peut être définie au-dessus des nombres réels. neuvième chapitre traite du théorème de la modularité, qui établit un lien profond entre la théorie des courbes elliptiques et les formes modulaires.

libro se divide en 10 capítulos, cada uno de los cuales presenta un nuevo tema o problema. Cada capítulo comienza con una breve descripción de los principales resultados y métodos necesarios para entender los temas tratados en el capítulo. autor destaca la importancia de estudiar y entender el desarrollo de la tecnología y su impacto en la sociedad a lo largo de la historia. Afirma que esta comprensión es esencial para la supervivencia de la humanidad y la unidad de los seres humanos en un mundo desgarrado por los conflictos. primer capítulo introduce el concepto de números algebraicos y sus propiedades, incluyendo el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cada ecuación polinómica no constitutiva tiene al menos una raíz compleja. En el segundo capítulo se investiga el grupo de Galois de la ecuación polinómica y su relación con la resolución de la ecuación por los radicales. En el tercer capítulo se discute el grupo ideal de clases del campo numérico algebraico y su relación con la aritmética del campo. cuarto capítulo examina el teorema de Hasse-Müller, que proporciona la condición necesaria y suficiente para que el campo numérico sea una extensión de Galois de los números racionales. quinto capítulo discute el grupo de Brauer del campo numérico algebraico y su relación con el grupo de clases. sexto capítulo explora la teoría de las curvas elípticas y las formas modulares, que son instrumentos importantes en la teoría moderna de los números. séptimo capítulo discute la hipótesis de Burch y Swinnerton - Dyer, que relaciona la aritmética de la curva elíptica con la geometría de la variedad modular asociada. octavo capítulo presenta la hipótesis de Taniyama - Shimura, que afirma que cualquier curva elíptica sobre números racionales puede definirse sobre números reales. noveno capítulo discute el teorema de modularidad, estableciendo una profunda relación entre la teoría de curvas elípticas y las formas modulares.

O livro está dividido em 10 capítulos, cada um apresentando um novo tema ou problema. Cada capítulo começa com uma breve revisão dos principais resultados e métodos necessários para compreender os temas discutidos no capítulo. O autor ressalta a importância de estudar e compreender o desenvolvimento da tecnologia e seus efeitos na sociedade ao longo da história. Ele afirma que essa compreensão é essencial para a sobrevivência da humanidade e para a unidade das pessoas num mundo devastado por conflitos. O primeiro capítulo introduz o conceito de números álgebraicos e suas propriedades, incluindo o teorema fundamental da álgebra, que afirma que cada equação polinomial não-onômica tem pelo menos uma raiz integral. O segundo capítulo explora o grupo Galois da equação polinomial e sua relação com a permissividade da equação pelos radicais. O terceiro capítulo discute um grupo perfeito de classes do campo de números álgebricos e sua relação com a aritmética do campo. O capítulo 4 aborda o teorema Hasse-Müller, que assegura a condição necessária e suficiente para que o campo numérico seja uma extensão dos números racionais de Galois. O quinto capítulo discute o grupo de Brauer do campo de números álgebricos e sua relação com o grupo de classes. O sexto capítulo explora a teoria das curvas elípticas e formas modulares, que são ferramentas importantes na teoria atual dos números. O capítulo sétimo aborda a hipótese de Birch e Chumnerton - Dyer, que liga a aritmética da curva elíptica à geometria da diversidade modular associada. O capítulo 8 apresenta a hipótese de Taniyama-mura, que afirma que qualquer curva elíptica acima dos números racionais pode ser definida acima dos números materiais. O capítulo nono discute um teorema sobre a modularidade que estabelece uma relação profunda entre a teoria das curvas elípticas e as formas modulares.

Das Buch ist in 10 Kapitel unterteilt, in denen jeweils ein neues Thema oder Problem vorgestellt wird. Jedes Kapitel beginnt mit einem kurzen Überblick über die wichtigsten Ergebnisse und Methoden, die zum Verständnis der im Kapitel behandelten Themen erforderlich sind. Der Autor betont, wie wichtig es ist, die Entwicklung der Technologie und ihre Auswirkungen auf die Gesellschaft im Laufe der Geschichte zu studieren und zu verstehen. Er argumentiert, dass dieses Verständnis für das Überleben der Menschheit und die Einheit der Menschen in einer von Konflikten zerrissenen Welt unerlässlich ist. Das erste Kapitel führt das Konzept der algebraischen Zahlen und ihrer Eigenschaften ein, einschließlich des grundlegenden Theorems der Algebra, das besagt, dass jede nichtkonstante Polynomgleichung mindestens eine komplexe Wurzel hat. Im zweiten Kapitel wird die Galois-Gruppe der Polynomgleichung und ihre Beziehung zur Auflösung der Gleichung durch Radikale untersucht. Im dritten Kapitel wird die ideale Klassengruppe des algebraischen numerischen Feldes und ihre Beziehung zur Feldarithmetik diskutiert. Das vierte Kapitel befasst sich mit dem Hasse-Müller-Theorem, das die notwendige und ausreichende Bedingung dafür bietet, dass das numerische Feld eine Galois-Erweiterung rationaler Zahlen ist. Im fünften Kapitel wird Brouwers Gruppe des algebraischen numerischen Feldes und seine Beziehung zu einer Gruppe von Klassen diskutiert. Das sechste Kapitel untersucht die Theorie der elliptischen Kurven und modularen Formen, die wichtige Werkzeuge in der modernen Zahlentheorie sind. Im siebten Kapitel wird die Birch-Swinnerton-Dyer-Hypothese diskutiert, die die Arithmetik der elliptischen Kurve mit der Geometrie der damit verbundenen modularen Vielfalt verbindet. Das achte Kapitel stellt die Taniyama-mura-Hypothese vor, die besagt, dass jede elliptische Kurve über rationalen Zahlen über reellen Zahlen definiert werden kann. Im neunten Kapitel wird das Theorem der Modularität diskutiert, das eine tiefe Verbindung zwischen der Theorie der elliptischen Kurven und den modularen Formen herstellt.

''

Kitap, her biri yeni bir konu veya sorun sunan 10 bölüme ayrılmıştır. Her bölüm, bölümde tartışılan konuları anlamak için gereken ana bulguların ve yöntemlerin kısa bir özeti ile başlar. Yazar, tarih boyunca teknolojilerin gelişimini ve toplum üzerindeki etkilerini incelemenin ve anlamanın önemini vurgulamaktadır. Bu anlayışın, insanlığın hayatta kalması ve çatışmalarla parçalanmış bir dünyada insanların birliği için gerekli olduğunu savunuyor. İlk bölüm cebirsel sayılar kavramını ve özelliklerini, cebirin temel teoremi de dahil olmak üzere, her konstant olmayan polinom denkleminin en az bir karmaşık köke sahip olduğunu belirtir. İkinci bölüm, polinom denkleminin Galois grubunu ve denklemin radikaller tarafından çözülebilirliği ile ilişkisini inceler. Üçüncü bölümde cebirsel sayı alanının ideal sınıf grubu ve alan aritmetiği ile ilişkisi tartışılmaktadır. Dördüncü bölüm, bir sayı alanının rasyonel sayıların Galois uzantısı olması için gerekli ve yeterli bir koşul sağlayan Hasse-Muller teoremi ile ilgilenir. Beşinci bölüm, cebirsel bir sayı alanının Brauer grubunu ve sınıf grubuyla ilişkisini tartışır. Altıncı bölüm, modern sayı teorisinde önemli araçlar olan eliptik eğriler ve modüler formlar teorisini araştırıyor. Yedinci bölüm, Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımını tartışır; bu, eliptik bir eğrinin aritmetiğini, ilişkili modüler manifoldunun geometrisiyle ilişkilendirir. Sekizinci bölüm, rasyonel sayılar üzerindeki herhangi bir eliptik eğrinin gerçek sayılar üzerinde tanımlanabileceğini belirten Taniyama-Shimura varsayımını sunar. Dokuzuncu bölüm, modülerlik teoremini tartışır ve eliptik eğri teorisi ile modüler formlar arasında derin bir bağlantı kurar.

ينقسم الكتاب إلى 10 فصول، يعرض كل منها موضوعًا أو مشكلة جديدة. ويبدأ كل فصل باستعراض موجز للنتائج والأساليب الرئيسية اللازمة لفهم المواضيع التي نوقشت في الفصل. ويشدد المؤلف على أهمية دراسة وفهم تطور التكنولوجيات وأثرها على المجتمع عبر التاريخ. ويقول إن هذا الفهم ضروري لبقاء البشرية ووحدة الشعوب في عالم تمزقه الصراعات. يقدم الفصل الأول مفهوم الأعداد الجبرية وخصائصها، بما في ذلك النظرية الأساسية للجبر، والتي تنص على أن كل معادلة متعددة الحدود غير مستمرة لها جذر معقد واحد على الأقل. يبحث الفصل الثاني في مجموعة غالوا للمعادلة متعددة الحدود وعلاقتها بقابلية حل المعادلة بواسطة الجذور. يناقش الفصل الثالث مجموعة الطبقات المثالية لمجال الأعداد الجبرية وعلاقتها بالحساب الميداني. يتناول الفصل الرابع مبرهنة هاس مولر، التي توفر شرطًا ضروريًا وكافيًا لحقل العدد ليكون امتدادًا لجالوا للأعداد العقلانية. يناقش الفصل الخامس مجموعة براور لمجال الأعداد الجبرية وعلاقتها بمجموعة الصف. يستكشف الفصل السادس نظرية المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية، وهي أدوات مهمة في نظرية الأعداد الحديثة. يناقش الفصل السابع تخمين Birch و Swinnerton-Dyer، الذي يربط الحساب لمنحنى إهليلجي بهندسة متعدد الوحدات المرتبط به. يقدم الفصل الثامن تخمين تانياما-شيمورا، والذي ينص على أنه يمكن تعريف أي منحنى إهليلجي على الأعداد العقلانية على الأعداد الحقيقية. يناقش الفصل التاسع مبرهنة النمطية، حيث يؤسس ارتباطًا عميقًا بين نظرية المنحنى الإهليلجي والأشكال المعيارية.