The parabolic Signorini problem is a fundamental problem in the theory of partial differential equations and its applications. It has been studied extensively over the past few decades, but there are still many open questions and challenges that need to be addressed. One of the main difficulties in studying this problem is the lack of a well-defined notion of regularity for the free boundary, which makes it difficult to establish the existence and properties of solutions. In this memoir, we propose a new approach to the problem based on a generalization of Almgren's monotonicity of the frequency. We show that this approach leads to a more complete understanding of the optimal regularity of solutions, the classification of free boundary points, and the structure of the singular set. The parabolic Signorini problem can be formulated as follows: given a bounded domain Ω in Rn with a smooth boundary ∂Ω, find the smallest possible value of the functional J(u) = ∫Ω (Δu + λu) dx, where λ > 0 is a given constant, and u is a harmonic function in Ω with Dirichlet boundary conditions. The problem is to determine the optimal value of J(u) and the corresponding solution u. The problem has many applications in physics, engineering, and other fields, and it is closely related to other important problems in mathematics, such as the calculus of variations and the study of minimal surfaces. One of the key challenges in studying the parabolic Signorini problem is the lack of a well-defined notion of regularity for the free boundary.

Параболическая задача Синьорини является фундаментальной задачей в теории дифференциальных уравнений в частных производных и её приложениях. Последние несколько десятилетий он широко изучался, но все еще остается много открытых вопросов и проблем, которые необходимо решить. Одной из основных трудностей в изучении этой проблемы является отсутствие чётко определённого понятия регулярности для свободной границы, что затрудняет установление существования и свойств решений. В этом мемуаре мы предлагаем новый подход к проблеме, основанный на обобщении монотонности частоты Альмгрена. Мы показываем, что такой подход приводит к более полному пониманию оптимальной регулярности решений, классификации свободных граничных точек и структуре сингулярного множества. Параболическую задачу Синьорини можно сформулировать следующим образом: если дана ограниченная область Ω в Rn с гладким граничным ∂Ω, найти наименьшее возможное значение функционала J (u) = ∫Ω (Δ u + λ u) dx, где λ> 0 - заданная константа, а u - гармоническая функция в Ω с граничными условиями Дирихле. Задача состоит в определении оптимального значения J (u) и соответствующего решения u. Задача имеет много применений в физике, инженерии и других областях, и она тесно связана с другими важными задачами в математике, такими как вариационное исчисление и изучение минимальных поверхностей. Одной из ключевых проблем при изучении параболической задачи Синьорини является отсутствие чётко определённого понятия регулярности для свободной границы.

problème parabolique de gnorini est un problème fondamental dans la théorie des équations différentielles dans les dérivées partielles et ses applications. Il a fait l'objet d'une étude approfondie au cours des dernières décennies, mais il reste encore beaucoup de questions et de problèmes à résoudre. L'une des principales difficultés dans l'étude de ce problème est l'absence d'une notion claire de régularité pour une frontière libre, ce qui rend difficile la détermination de l'existence et des propriétés des solutions. Dans ce mémoire, nous proposons une nouvelle approche du problème basée sur la généralisation de la monotonie de la fréquence d'Almgren. Nous montrons que cette approche conduit à une meilleure compréhension de la régularité optimale des décisions, de la classification des points limites libres et de la structure de l'ensemble singulier. problème parabolique de gnorini peut être formulé de la manière suivante : si vous donnez une zone limitée de Ω dans Rn avec une ∂Ω limite lisse, trouvez la plus petite valeur possible de la fonction J (u) = ∫Ω (Δ u + λ u) dx, où λ> 0 est une constante donnée et u est une fonction harmonique en Ω avec les conditions limites de Dirichlet. problème consiste à déterminer la valeur optimale J (u) et la solution correspondante u. problème a de nombreuses applications en physique, en ingénierie et dans d'autres domaines, et il est étroitement lié à d'autres problèmes importants en mathématiques, tels que le calcul de variation et l'étude des surfaces minimales. L'un des principaux problèmes dans l'étude de la tâche parabolique de gnorini est l'absence d'une notion claire de régularité pour une frontière libre.

problema parabólico de gnorini es un problema fundamental en la teoría de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y sus aplicaciones. Ha sido ampliamente estudiado en las últimas décadas, pero aún quedan muchas cuestiones abiertas y problemas por resolver. Una de las principales dificultades para estudiar este problema es la falta de una noción claramente definida de regularidad para una frontera libre, lo que hace difícil establecer la existencia y las propiedades de las soluciones. En esta memoria proponemos un nuevo enfoque del problema basado en la generalización de la monotonía de la frecuencia de Almgren. Demostramos que este enfoque conduce a una comprensión más completa de la regularidad óptima de las soluciones, la clasificación de los puntos límite libres y la estructura del conjunto singular. problema parabólico de gnorini se puede formular de la siguiente manera: si se da un dominio limitado de Ω en Rn con un ∂Ω límite liso, encontrar el menor valor posible de la funcionalidad J (u) = ∫Ω (Δ u + λ u) dx, donde λ> 0 es una constante dada, y u es una función armónica en Ω con las condiciones límite de Dirichlet. reto consiste en determinar el valor óptimo de J (u) y la solución u correspondiente. problema tiene muchas aplicaciones en física, ingeniería y otros campos, y está estrechamente relacionado con otros problemas importantes en matemáticas, como el cálculo variacional y el estudio de superficies mínimas. Uno de los problemas clave en el estudio de la tarea parabólica de gnorini es la falta de un concepto claramente definido de regularidad para una frontera libre.

gnorinis parabolisches Problem ist eine grundlegende Aufgabe in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und ihrer Anwendungen. Es wurde in den letzten Jahrzehnten umfassend untersucht, aber es gibt immer noch viele offene Fragen und Probleme, die gelöst werden müssen. Eine der Hauptschwierigkeiten bei der Untersuchung dieses Problems ist das Fehlen eines klar definierten Konzepts der Regelmäßigkeit für eine freie Grenze, was es schwierig macht, die Existenz und die Eigenschaften von Lösungen festzustellen. In diesem Memoiren schlagen wir einen neuen Ansatz für das Problem vor, der auf der Verallgemeinerung der Monotonie der Almgren-Frequenz basiert. Wir zeigen, dass dieser Ansatz zu einem umfassenderen Verständnis der optimalen Regelmäßigkeit von Entscheidungen, der Klassifizierung freier Grenzpunkte und der Struktur einer singulären Menge führt. Das parabolische Problem der gnorini kann wie folgt formuliert werden: Wenn ein begrenzter Bereich der Ω in Rn mit einer glatten ∂Ω gegeben ist, finden e den kleinstmöglichen Wert der Funktionalität J (u) = ∫Ω (Δ u + λ u) dx, wobei λ> 0 eine gegebene Konstante und u eine harmonische Funktion in Ω mit den Dirichlet-Randbedingungen ist. Die Aufgabe besteht darin, den optimalen Wert J (u) und die entsprechende Lösung u zu ermitteln. Die Aufgabe hat viele Anwendungen in Physik, Technik und anderen Bereichen, und es ist eng mit anderen wichtigen Aufgaben in der Mathematik, wie Variationsrechnung und das Studium der minimalen Oberflächen. Eines der Hauptprobleme bei der Untersuchung der parabolischen Aufgabe von gnorini ist das Fehlen eines klar definierten Konzepts der Regelmäßigkeit für eine freie Grenze.

''

gnorini'nin parabolik problemi, kısmi diferansiyel denklemler ve uygulamaları teorisinde temel bir problemdir. Son birkaç on yılda kapsamlı bir şekilde incelenmiştir, ancak hala ele alınması gereken birçok açık soru ve sorun vardır. Bu sorunun incelenmesindeki temel zorluklardan biri, serbest bir sınır için açıkça tanımlanmış bir düzenlilik kavramının bulunmamasıdır, bu da çözümlerin varlığını ve özelliklerini kurmayı zorlaştırır. Bu hatıratta, Almgren frekansının monotonluğunu genelleştirmeye dayanan soruna yeni bir yaklaşım öneriyoruz. Bu yaklaşımın, çözümlerin optimal düzenliliğinin, serbest sınır noktalarının sınıflandırılmasının ve tekil kümenin yapısının daha eksiksiz bir şekilde anlaşılmasına yol açtığını gösteriyoruz. gnorini parabolik problemi şu şekilde formüle edilebilir: Düzgün bir sınır Ω ile Rn'de sınırlı bir ∂Ω alan verildiğinde, mümkün olan en küçük fonksiyonel değeri bulun J (u) = ∫Ω (Δ u + λ u) dx, burada λ> 0 verilen bir sabittir ve u Dirichlet sınır koşullarına Ω harmonik bir fonksiyondur. Sorun, J (u) optimal değerini ve ilgili çözümü u belirlemektir. Problem, fizik, mühendislik ve diğer alanlarda birçok uygulamaya sahiptir ve varyasyon hesabı ve minimal yüzeylerin incelenmesi gibi matematikteki diğer önemli problemlerle yakından ilgilidir. gnorini parabolik probleminin incelenmesindeki temel problemlerden biri, serbest bir sınır için açıkça tanımlanmış bir düzenlilik kavramının olmamasıdır.

مشكلة gnorini المكافئة هي مشكلة أساسية في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية وتطبيقاتها. لقد تمت دراسته على نطاق واسع خلال العقود القليلة الماضية، ولكن لا يزال هناك العديد من الأسئلة والقضايا المفتوحة التي تحتاج إلى معالجة. تتمثل إحدى الصعوبات الرئيسية في دراسة هذه المشكلة في عدم وجود مفهوم محدد بوضوح لانتظام الحدود الحرة، مما يجعل من الصعب تحديد وجود وخصائص الحلول. في هذه المذكرات، نقترح نهجًا جديدًا للمشكلة يعتمد على تعميم رتابة تردد ألمغرين. نبين أن هذا النهج يؤدي إلى فهم أكثر اكتمالاً للانتظام الأمثل للحلول، وتصنيف نقاط الحدود الحرة، وبنية المجموعة المفردة. يمكن صياغة مسألة مكافئ gnorini على النحو التالي: نظرًا لنطاق Ω محدود في Rn مع ∂Ω حدود سلسة، ابحث عن أصغر قيمة وظيفية ممكنة J (u) = ∫Ω (Δ u + λ u) dx، حيث λ> 0 هو ثابت معين، و u هو دالة توافقية في Ω مع شروط حدود Dirichlet. المشكلة هي تحديد القيمة المثلى لـ J (u) والحل المقابل u. للمشكلة العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة والمجالات الأخرى، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بمسائل مهمة أخرى في الرياضيات، مثل حساب الاختلافات ودراسة الحد الأدنى من الأسطح. إحدى المشاكل الرئيسية في دراسة مشكلة gnorini المكافئة هي عدم وجود مفهوم محدد بوضوح للانتظام للحدود الحرة.