Introduction: The theory of abelian functions, which was at the center of mathematics in the 19th century, has recently gained renewed interest, but now it is often interpreted not as a chapter of function theory but as a field of application of ideas and methods of commutative algebra. This book provides a comprehensive foundation for the theory of abelian functions using classical function theory methods. The theory of abelian functions is a unique and special case of the theory of elliptic functions, and this book delves into its history, showcasing how it has evolved over time. Chapter 1: Historical Background The theory of abelian functions has a rich history dating back to the 19th century when mathematicians like Niels Henrik Abel and Carl Gustav Jacobi first explored its concepts. Initially, it was studied within the context of function theory, but as the field progressed, it became clear that the theory had broader applications in commutative algebra. The development of the theory of abelian functions can be divided into three distinct periods: the early years, the maturity period, and the modern era. Early Years (1825-1850): During this period, mathematicians focused on understanding the fundamental principles of the theory, including the concept of an abelian function and its relationship with elliptic functions. Key figures like Abel and Jacobi made significant contributions, laying the groundwork for future generations. Maturity Period (1850-1875): As the theory matured, mathematicians began to explore its applications in different areas of mathematics, such as algebraic geometry and number theory. This period saw the introduction of new techniques and tools, which further solidified the foundation of the theory.

Введение: Теория абелевых функций, которая была в центре математики в XIX веке, недавно получила новый интерес, но теперь она часто интерпретируется не как глава теории функций, а как область применения идей и методов коммутативной алгебры. Эта книга даёт исчерпывающую основу для теории абелевых функций с использованием классических методов теории функций. Теория абелевых функций является уникальным и частным случаем теории эллиптических функций, и эта книга углубляется в её историю, демонстрируя, как она развивалась с течением времени. Глава 1: Историческая справка Теория абелевых функций имеет богатую историю, начиная с XIX века, когда такие математики, как Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоби, впервые исследовали ее концепции. Первоначально она изучалась в контексте теории функций, но по мере развития области стало ясно, что теория имеет более широкие приложения в коммутативной алгебре. Развитие теории абелевых функций можно разделить на три различных периода: ранние годы, период зрелости и современная эпоха. Ранние годы (1825 - 1850): в этот период математики сосредоточились на понимании фундаментальных принципов теории, включая понятие абелевой функции и её связь с эллиптическими функциями. Ключевые фигуры, такие как Абель и Якоби, внесли значительный вклад, заложив основу для будущих поколений. Период зрелости (1850 - 1875): по мере взросления теории математики начали исследовать её приложения в разных областях математики, таких как алгебраическая геометрия и теория чисел. На этот период приходится внедрение новых техник и инструментов, что ещё более укрепило фундамент теории.

Introduction : La théorie des fonctions abéliennes, qui était au centre des mathématiques au XIXe siècle, a récemment gagné un intérêt nouveau, mais elle est maintenant souvent interprétée non pas comme un chapitre de la théorie des fonctions, mais comme un domaine d'application des idées et des méthodes de l'algèbre commutative. Ce livre fournit une base complète pour la théorie des fonctions abéliennes en utilisant les méthodes classiques de la théorie des fonctions. La théorie des fonctions abéliennes est un cas unique et privé de la théorie des fonctions elliptiques, et ce livre s'enfonce dans son histoire, montrant comment elle a évolué au fil du temps. Chapitre 1 : Référence historique La théorie des fonctions abéliennes a une riche histoire depuis le XIXe siècle, lorsque des mathématiciens comme Niels Henrik Abel et Carl Gustav Jacobi ont étudié ses concepts pour la première fois. À l'origine, il a été étudié dans le contexte de la théorie des fonctions, mais à mesure que le domaine se développait, il est devenu clair que la théorie avait des applications plus larges dans l'algèbre commutative. développement de la théorie des fonctions abéliennes peut être divisé en trois périodes différentes : les premières années, la période de maturité et l'ère moderne. s premières années (1825-1850) : au cours de cette période, les mathématiques se sont concentrées sur la compréhension des principes fondamentaux de la théorie, y compris la notion de fonction abélienne et son lien avec les fonctions elliptiques. Des personnages clés comme Abel et Jacobi ont apporté une contribution importante, jetant les bases des générations futures. Période de maturité (1850-1875) : À mesure que la théorie des mathématiques grandit, on commence à étudier ses applications dans différents domaines des mathématiques, tels que la géométrie algébrique et la théorie des nombres. Au cours de cette période, de nouvelles techniques et outils ont été introduits, ce qui a renforcé les fondements de la théorie.

Introducción: La teoría de las funciones abelianas, que fue el centro de las matemáticas en el siglo XIX, ha recibido recientemente un nuevo interés, pero ahora no se interpreta a menudo como un capítulo de la teoría de funciones, sino como un campo de aplicación de ideas y métodos de álgebra conmutativa. Este libro proporciona una base exhaustiva para la teoría de las funciones abelianas utilizando técnicas clásicas de la teoría de funciones. La teoría de las funciones abelianas es un caso único y particular de la teoría de las funciones elípticas, y este libro profundiza en su historia, demostrando cómo se desarrolló a lo largo del tiempo. Capítulo 1: Referencia histórica La teoría de las funciones abelianas tiene una rica historia que data del siglo XIX, cuando matemáticos como Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacoby investigaron sus conceptos por primera vez. Inicialmente se estudió en el contexto de la teoría de funciones, pero a medida que el dominio avanzaba, se hizo evidente que la teoría tenía aplicaciones más amplias en álgebra conmutativa. desarrollo de la teoría de las funciones abelianas puede dividirse en tres períodos diferentes: los primeros , el período de madurez y la era moderna. Primeros (1825-1850): durante este período, los matemáticos se centraron en la comprensión de los principios fundamentales de la teoría, incluyendo el concepto de función abeliana y su relación con las funciones elípticas. Figuras clave como Abel y Jacobi han hecho contribuciones significativas, sentando las bases para las generaciones futuras. Período de madurez (1850-1875): a medida que la teoría de las matemáticas crecía, comenzaron a investigar sus aplicaciones en diferentes campos de las matemáticas, como la geometría algebraica y la teoría de números. Durante este período, hay que introducir nuevas técnicas e instrumentos, lo que fortaleció aún más la base de la teoría.

Introdução: A Teoria das Funções do Abel, que foi o centro da matemática no século XIX, recentemente ganhou um novo interesse, mas agora é muitas vezes interpretada não como um capítulo da teoria das funções, mas como um campo de aplicação de ideias e técnicas de álgebra comutativa. Este livro fornece uma base abrangente para a teoria das funções de abel usando técnicas clássicas de teoria das funções. A teoria das funções de abel é um caso único e privado da teoria das funções elípticas, e este livro se aprofundou na sua história, mostrando como ele evoluiu ao longo do tempo. Capítulo 1: Referência histórica A teoria das funções do abel tem uma história rica, desde o século XIX, quando matemáticas como Nils Henrik Abel e Carl Gustav Jacobi exploraram seus conceitos pela primeira vez. Ele foi inicialmente estudado no contexto da teoria das funções, mas à medida que a área evoluiu, ficou claro que a teoria tem aplicações mais amplas na álgebra comutativa. O desenvolvimento da teoria das funções do abel pode ser dividido em três períodos diferentes: os primeiros anos, o período da maturidade e a era moderna. Anos Iniciais (1825-1850): Durante este período, a matemática se concentrou na compreensão dos princípios fundamentais da teoria, incluindo o conceito da função abel e sua relação com as funções elípticas. Figuras-chave, como Abel e Jacobi, contribuíram significativamente, estabelecendo as bases para as gerações futuras. Período de maturidade (1850-1875): À medida que a teoria da matemática crescia, começou a explorar suas aplicações em diferentes áreas da matemática, tais como a geometria álgebra e a teoria dos números. Durante este período, é preciso introduzir novas técnicas e ferramentas, o que fortaleceu ainda mais as bases da teoria.

Introduzione: La teoria delle funzioni abili, che è stato al centro della matematica nel XIX secolo, ha recentemente acquisito un nuovo interesse, ma ora è spesso interpretato non come un capitolo della teoria delle funzioni, ma come un campo di applicazione di idee e tecniche di algebra commutativa. Questo libro fornisce una base completa per la teoria delle funzioni abili utilizzando i metodi classici della teoria delle funzioni. La teoria delle funzioni abili è un caso unico e privato di teoria delle funzioni ellittiche, e questo libro si approfondisce nella sua storia, dimostrando come si è evoluto nel tempo. Capitolo 1: La teoria delle funzioni abili ha una storia ricca a partire dal XIX secolo, quando matematici come Nils Henrik Abel e Carl Gustav Jacobi ne esplorarono per la prima volta i concetti. Inizialmente è stato studiato nel contesto della teoria delle funzioni, ma man mano che l'area si sviluppa, è chiaro che la teoria ha applicazioni più ampie in algebra commutativa. Lo sviluppo della teoria delle funzioni abili può essere suddiviso in tre diversi periodi: i primi anni, la maturità e l'epoca moderna. I primi anni (1825-1850), in questo periodo, la matematica si concentrò sulla comprensione dei principi fondamentali della teoria, compreso il concetto di funzione abile e il suo legame con le funzioni ellittiche. Figure chiave come Abel e Jacoby hanno contribuito notevolmente, gettando le basi per le generazioni future. Il periodo della maturità (1850-1875): man mano che la teoria della matematica cresceva, cominciarono ad esplorare le sue applicazioni in diversi campi della matematica, come la geometria algebrica e la teoria dei numeri. In questo periodo, l'introduzione di nuove tecniche e strumenti ha rafforzato ulteriormente le fondamenta della teoria.

Einleitung: Die Theorie der abelschen Funktionen, die im 19. Jahrhundert im Zentrum der Mathematik stand, hat in letzter Zeit neues Interesse gefunden, wird aber heute oft nicht mehr als Kapitel der Funktionstheorie interpretiert, sondern als Anwendungsgebiet der Ideen und Methoden der kommutativen Algebra. Dieses Buch bietet eine umfassende Grundlage für die Theorie abelscher Funktionen unter Verwendung klassischer Methoden der Funktionstheorie. Die Theorie der abelschen Funktionen ist ein einzigartiger und spezieller Fall der Theorie der elliptischen Funktionen, und dieses Buch geht tief in seine Geschichte ein und zeigt, wie es sich im Laufe der Zeit entwickelt hat. Kapitel 1: Historischer Hintergrund Die abelsche Funktionstheorie hat eine reiche Geschichte, die bis ins 19. Jahrhundert zurückreicht, als Mathematiker wie Nils Henrik Abel und Carl Gustav Jacobi ihre Konzepte erstmals erforschten. Es wurde ursprünglich im Kontext der Funktionstheorie untersucht, aber als sich das Gebiet entwickelte, wurde klar, dass die Theorie breitere Anwendungen in der kommutativen Algebra hatte. Die Entwicklung der abelschen Funktionstheorie kann in drei verschiedene Perioden unterteilt werden: die frühen Jahre, die Reifezeit und die Moderne. Frühe Jahre (1825-1850): In dieser Zeit konzentrierten sich die Mathematiker auf das Verständnis der grundlegenden Prinzipien der Theorie, einschließlich des Konzepts der Abelfunktion und ihrer Beziehung zu elliptischen Funktionen. Schlüsselfiguren wie Abel und Jacobi haben maßgeblich dazu beigetragen, den Grundstein für künftige Generationen zu legen. Reifezeit (1850-1875): Als die Theorie reifte, begannen die Mathematiker, ihre Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik zu untersuchen, wie algebraische Geometrie und Zahlentheorie. In dieser Zeit ist es notwendig, neue Techniken und Werkzeuge einzuführen, die die Grundlage der Theorie weiter gestärkt haben.

''

Giriş: 19. yüzyılda matematiğin merkezinde olan abelyen fonksiyonlar teorisi, son zamanlarda yeni bir ilgi gördü, ancak şimdi genellikle fonksiyon teorisinin bir bölümü olarak değil, değişmeli cebirin fikir ve yöntemlerinin bir uygulama alanı olarak yorumlanıyor. Bu kitap, fonksiyon teorisinin klasik yöntemlerini kullanarak abelyen fonksiyonlar teorisi için kapsamlı bir temel sağlar. Abelyen fonksiyonlar teorisi, eliptik fonksiyonlar teorisinin benzersiz ve özel bir durumudur ve bu kitap, zaman içinde nasıl geliştiğini gösteren tarihine girer. Bölüm 1: Tarihsel arka plan Abelyen fonksiyonlar teorisi, Niels Henrik Abel ve Carl Gustav Jacobi gibi matematikçilerin kavramlarını ilk kez araştırdığı 19. yüzyıla kadar uzanan zengin bir tarihe sahiptir. Başlangıçta, fonksiyon teorisi bağlamında incelendi, ancak alan geliştikçe, teorinin değişmeli cebirde daha geniş uygulamaları olduğu ortaya çıktı. Abelyen fonksiyon teorisinin gelişimi üç ayrı döneme ayrılabilir: ilk yıllar, olgunluk dönemi ve modern çağ. İlk yıllar (1825-1850): Bu dönemde matematikçiler, bir abelyen fonksiyon kavramı ve bunun eliptik fonksiyonlarla bağlantısı da dahil olmak üzere teorinin temel ilkelerini anlamaya odaklandılar. Abel ve Jacobi gibi önemli isimler, gelecek nesiller için zemin hazırlayan önemli katkılarda bulundu. Olgunluk dönemi (1850-1875): Matematik teorisi olgunlaştıkça, cebirsel geometri ve sayı teorisi gibi matematiğin çeşitli alanlarındaki uygulamalarını keşfetmeye başladılar. Bu dönemde, teorinin temelini daha da güçlendiren yeni teknikler ve araçlar ortaya çıktı.

مقدمة |: تلقت نظرية الدوال الأبلية، التي كانت في مركز الرياضيات في القرن التاسع عشر، اهتمامًا جديدًا مؤخرًا، ولكن الآن غالبًا ما يتم تفسيرها ليس كفصل من نظرية الوظيفة، ولكن كمجال لتطبيق الأفكار والأساليب من الجبر التبادلي. يقدم هذا الكتاب أساسًا شاملاً لنظرية الوظائف الأبلية باستخدام الأساليب الكلاسيكية لنظرية الوظائف. نظرية الوظائف الأبيلية هي حالة فريدة وخاصة لنظرية الوظائف الإهليلجية، وهذا الكتاب يتعمق في تاريخه، ويوضح كيف تطور بمرور الوقت. الفصل 1: الخلفية التاريخية لنظرية الوظائف الأبيلية تاريخ غني يعود إلى القرن التاسع عشر، عندما استكشف علماء الرياضيات مثل نيلز هنريك أبيل وكارل غوستاف جاكوبي مفاهيمها لأول مرة. في البداية، تمت دراسته في سياق نظرية الدالة، ولكن مع تطور المجال، أصبح من الواضح أن النظرية لها تطبيقات أوسع في الجبر التبادلي. يمكن تقسيم تطور نظرية الدالة الأبيلية إلى ثلاث فترات متميزة: السنوات الأولى، وفترة النضج، والعصر الحديث. السنوات الأولى (1825-1850): خلال هذه الفترة، ركز علماء الرياضيات على فهم المبادئ الأساسية للنظرية، بما في ذلك مفهوم الدالة الأبيلية وارتباطها بالوظائف الإهليلجية. قدمت شخصيات رئيسية مثل هابيل وجاكوبي مساهمات كبيرة، مما أرسى الأساس للأجيال القادمة. فترة النضج (1850-1875): مع نضوج نظرية الرياضيات، بدأوا في استكشاف تطبيقاتها في مجالات مختلفة من الرياضيات، مثل الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد. خلال هذه الفترة، تم إدخال تقنيات وأدوات جديدة، مما عزز أساس النظرية.