The author presents the results of researching the asymptotics of the number of points required for the accuracy of approximation by orthogonal polynomials on non-uniform point sets. The book "Многочлены ортогональные на сетках Теория и приложения" by Sharapudinov I. I. provides a comprehensive overview of the rapidly evolving field of orthogonal polynomials on discrete point systems. The author delves into the fundamental principles of this theory, exploring the asymptotic properties of these polynomials and examining the relationship between the degree of the polynomial and the grid pitch. This groundbreaking work sheds light on the previously unexplored territory of increasing the degree of the polynomial while simultaneously reducing the grid pitch for classical orthogonal polynomials on uniform grids. Additionally, the author investigates the asymptotics of the number of points required for accurate approximation by orthogonal polynomials on non-uniform point sets. The book begins with an in-depth introduction to the theory of orthogonal polynomials on discrete point systems, providing readers with a solid foundation for understanding the concepts that follow. The author then delves into the study of asymptotic properties of these polynomials, highlighting their significance in modern knowledge development.

Представлены результаты исследования асимптотики числа точек, необходимых для точности аппроксимации ортогональными многочленами на неоднородных наборах точек. Книга «Многочлены ортогональные на сетках Теория и приложения» Шарапудиновым И. И. предоставляет всесторонний обзор быстро развивающейся области ортогональных полиномиалов на системах дискретной точки. Автор углубляется в фундаментальные принципы этой теории, исследуя асимптотические свойства этих многочленов и исследуя связь между степенью многочлена и шагом сетки. Эта новаторская работа проливает свет на ранее неизученную территорию увеличения степени многочлена при одновременном уменьшении шага сетки для классических ортогональных многочленов на однородных сетках. Кроме того, автор исследует асимптотику количества точек, необходимых для точного приближения ортогональными полиномами на неоднородных наборах точек. Книга начинается с глубокого введения в теорию ортогональных многочленов на дискретных точечных системах, предоставляя читателям прочную основу для понимания следующих понятий. Затем автор углубляется в изучение асимптотических свойств этих многочленов, подчеркивая их значение в современном развитии знаний.

Présentation des résultats d'une étude asymptotique du nombre de points nécessaires à la précision de l'approximation par des polynômes orthogonaux sur des ensembles de points non homogènes. livre « s polygones orthogonaux sur les grilles Théorie et applications » de Sharapodinov I. I. donne un aperçu complet de la région en évolution rapide des polynômes orthogonaux sur les systèmes à point discret. L'auteur explore les principes fondamentaux de cette théorie en examinant les propriétés asymptotiques de ces polynômes et en examinant la relation entre le degré de polynôme et le pas de la grille. Ce travail novateur met en lumière un territoire précédemment inexploré d'augmentation du degré de polynôme tout en réduisant le pas de grille des polynômes orthogonaux classiques sur des grilles homogènes. En outre, l'auteur étudie l'asymptotique du nombre de points nécessaires pour se rapprocher avec précision des polynômes orthogonaux sur des ensembles de points non homogènes. livre commence par une introduction profonde à la théorie des polynômes orthogonaux sur les systèmes de points discrets, offrant aux lecteurs une base solide pour comprendre les concepts suivants. L'auteur étudie ensuite les propriétés asymptotiques de ces polynômes, soulignant leur importance dans le développement actuel des connaissances.

Se presentan los resultados de un estudio de asintótica del número de puntos necesarios para la precisión de aproximación por polinomios ortogonales en conjuntos de puntos heterogéneos. libro «Polinomios ortogonales en las mallas Teoría y Aplicaciones» por Sharapudin I. I. proporciona una visión completa de la región de rápido desarrollo de los polinomios ortogonales en los sistemas de punto discreto. autor profundiza en los principios fundamentales de esta teoría investigando las propiedades asintóticas de estos polinomios y explorando la relación entre el grado de polinomio y el paso de malla. Este trabajo pionero arroja luz sobre un territorio previamente inexplorado de aumento del grado de polinomio, al tiempo que reduce el paso de malla para polinomios ortogonales clásicos en mallas homogéneas. Además, el autor investiga la asintótica del número de puntos necesarios para una aproximación precisa por polinomios ortogonales sobre conjuntos de puntos heterogéneos. libro comienza con una profunda introducción a la teoría de polinomios ortogonales sobre sistemas puntuales discretos, proporcionando a los lectores una base sólida para entender los siguientes conceptos. A continuación, el autor profundiza en el estudio de las propiedades asintóticas de estos polinomios, destacando su importancia en el desarrollo moderno del conocimiento.

São apresentados os resultados da pesquisa assintótica sobre o número de pontos necessários para a precisão da aproximação com múltiplos ortogonais em conjuntos de pontos heterogéneos. O livro «Múltiplos ortogonais nas malhas Teoria e Aplicativos», de Sharapudin I., fornece uma visão completa da área de polinomios ortogonais em rápido desenvolvimento em sistemas de ponto discreto. O autor aprofundou-se nos princípios fundamentais desta teoria, explorando as propriedades assintóticas destas múltiplas e explorando a relação entre o grau e o passo da malha. Este trabalho inovador lança luz sobre uma área de aumento de grau antes desconhecida, ao mesmo tempo em que reduz o passo da malha para os grupos ortogonais clássicos em malhas homogêneas. Além disso, o autor explora a asimptótica do número de pontos necessários para a aproximação precisa de polinomios ortogonais em conjuntos de pontos heterogéneos. O livro começa com uma profunda introdução à teoria dos múltiplos ortogonais em sistemas discretos, fornecendo aos leitores uma base sólida para compreender os seguintes conceitos. Em seguida, o autor aprofundou-se no estudo das propriedades assintóticas dessas múltiplas, enfatizando o seu significado no desenvolvimento atual do conhecimento.

Sono riportati i risultati di uno studio di asintotica del numero di punti necessari per l'accuratezza dell'approssimazione con più punti ortogonali su insiemi di punti eterogenei. Il libro «Molteplici ortogonali sulle griglie Teoria e applicazioni» di Sharapudin I. I. fornisce una panoramica completa dell'area in rapida evoluzione dei polinomiali ortogonali sui sistemi a discrezione. L'autore approfondisce i principi fondamentali di questa teoria, esplorando le proprietà asintotiche di questi molteplici e esplorando il legame tra il grado è molteplice e il passo della griglia. Questo lavoro innovativo mette in luce l'area di ingrandimento di grado precedentemente inesplorata, riducendo allo stesso tempo il passo della griglia per i classici poligoni ortogonali su griglie omogenee. Inoltre, l'autore esamina l'asintotica del numero di punti necessari per avvicinare con precisione i polinomi ortogonali su insiemi di punti eterogenei. Il libro inizia con una profonda introduzione alla teoria dei molteplici ortogonali su sistemi a punti discreti, fornendo ai lettori una base solida per comprendere i seguenti concetti. Poi l'autore approfondisce la ricerca delle proprietà asintotiche di questi molteplici, sottolineando il loro significato nello sviluppo attuale della conoscenza.

Die Ergebnisse der Untersuchung der Asymptotik der Anzahl der Punkte, die für die Genauigkeit der Annäherung durch orthogonale Polynome an inhomogene Punktesätze erforderlich sind, werden vorgestellt. Das Buch „Orthogonale Polynome auf Netzen Theorie und Anwendungen“ von Sharapudinov I. I. bietet einen umfassenden Überblick über das sich schnell entwickelnde Gebiet der orthogonalen Polynome auf diskreten Punktsystemen. Der Autor vertieft sich in die grundlegenden Prinzipien dieser Theorie, indem er die asymptotischen Eigenschaften dieser Polynome untersucht und den Zusammenhang zwischen dem Grad des Polynoms und dem Rasterabstand untersucht. Diese bahnbrechende Arbeit beleuchtet das bisher unerforschte Gebiet der Erhöhung des Polynomgrades bei gleichzeitiger Verringerung der Gitterteilung für klassische orthogonale Polynome auf homogenen Gittern. Darüber hinaus untersucht der Autor die Asymptotik der Anzahl der Punkte, die für eine genaue Annäherung mit orthogonalen Polynomen an heterogene Punktesätze erforderlich sind. Das Buch beginnt mit einer tiefen Einführung in die Theorie orthogonaler Polynome auf diskreten Punktsystemen und bietet den sern eine solide Grundlage, um die folgenden Konzepte zu verstehen. Der Autor geht dann tiefer in die Untersuchung der asymptotischen Eigenschaften dieser Polynome ein und betont ihre Bedeutung in der modernen Wissensentwicklung.

Przedstawiono wyniki asymptotycznego badania liczby punktów niezbędnych do dokładności przybliżenia wielomianów ortogonalnych na nielogicznych zestawach punktów. Książka „Orthogonal Polynomials on Grids Theory and Applications” autorstwa I. Sharapudinova zawiera kompleksowy przegląd szybko rozwijającej się domeny wielomianów ortogonalnych na systemach punktów dyskretnych. Autor zagłębia się w fundamentalne zasady tej teorii, badając asymptotyczne właściwości tych wielomianów i badając zależność między stopniem wielomianu a boiskiem siatki. Ta pionierska praca rzuca światło na niewykryte wcześniej terytorium zwiększenia stopnia wielomianu przy jednoczesnym zmniejszeniu skoku siatki dla klasycznych wielomianów ortogonalnych na jednolitych siatkach. Ponadto autor bada asymptotykę liczby punktów potrzebnych do dokładnego przybliżenia przez wielomiany ortogonalne na nielogicznych zbiorach punktów. Książka rozpoczyna się od głębokiego wprowadzenia do teorii wielomianów ortogonalnych na dyskretnych systemach punktowych, zapewniając czytelnikom solidną podstawę do zrozumienia następujących pojęć. Następnie autor zagłębia się w badania asymptotycznych właściwości owych wielomianów, podkreślając ich znaczenie we współczesnym rozwoju wiedzy.

מוצגות תוצאות המחקר האסימפטוטי של מספר הנקודות הדרושות לדיוק הקירוב על ידי פולינומים אורתוגונליים. הספר ”Orthogonal Polynomials on Grids Theory and Applications” מאת I. Sharapudinov מספק סקירה מקיפה של התחום המתפתח במהירות של פולינומים אורתוגונליים על מערכות נקודה בדידה. המחבר מתעמק בעקרונות היסודיים של תאוריה זו, בוחן את התכונות האסימפטוטיות של הפולינומים האלה ובוחן את הקשר בין רמת הפולינום לבין גובה הגל. עבודה חלוצית זו שופכת אור על הטריטוריה שלא נחקרה קודם לכן של הגדלת רמת הפולינום תוך צמצום הצליל של הרשת עבור פולינומים אורתוגונליים קלאסיים על רשתות הומוגניות. בנוסף, המחבר בוחן את האסימפטוטיקה של מספר הנקודות הדרושות לקירוב מדויק על ידי פולינומים אורתוגונליים על קבוצות של נקודות אינהמוגניות. הספר מתחיל במבוא עמוק לתאוריה של פולינומים אורתוגונליים על מערכות נקודות בדידות, ומספק לקוראים בסיס מוצק להבנת המושגים הבאים. המחבר מתעמק בחקר התכונות האסימפטוטיות של הפולינומים הללו, ומדגיש את חשיבותם בהתפתחות המודרנית של הידע.''

Homojen olmayan nokta kümeleri üzerinde ortogonal polinomlar tarafından yaklaşıklığın doğruluğu için gerekli nokta sayısının asimptotik çalışmasının sonuçları sunulmuştur. I. Sharapudinov'un "Izgaralar Teorisi ve Uygulamaları Üzerine Ortogonal Polinomlar" kitabı, ayrık nokta sistemlerinde ortogonal polinomların hızla gelişen alanına kapsamlı bir genel bakış sunmaktadır. Yazar, bu teorinin temel ilkelerini inceler, bu polinomların asimptotik özelliklerini inceler ve polinomun derecesi ile ızgara aralığı arasındaki ilişkiyi inceler. Bu öncü çalışma, homojen ızgaralardaki klasik ortogonal polinomlar için ızgara aralığını azaltırken, bir polinomun derecesini arttırmanın daha önce keşfedilmemiş topraklarına ışık tutmaktadır. Buna ek olarak, yazar, homojen olmayan nokta kümeleri üzerinde ortogonal polinomlar tarafından kesin bir yaklaşım için gereken nokta sayısının asimptotiklerini araştırmaktadır. Kitap, ayrık nokta sistemlerinde ortogonal polinomlar teorisine derin bir giriş ile başlar ve okuyuculara aşağıdaki kavramları anlamak için sağlam bir temel sağlar. Yazar daha sonra bu polinomların asimptotik özelliklerinin incelenmesine girer ve bilginin modern gelişimindeki önemini vurgular.

تعرض نتائج الدراسة المتقاربة لعدد النقاط اللازمة لدقة التقريب بمتعددات الحدود المتعامدة على مجموعات غير متجانسة من النقاط. يقدم كتاب «متعددات الحدود المتعامدة على نظرية وتطبيقات الشبكات» بقلم آي شارابودينوف نظرة عامة شاملة على المجال سريع التطور لكثيرات الحدود المتعامدة على أنظمة النقاط المنفصلة. يتعمق المؤلف في المبادئ الأساسية لهذه النظرية، ويفحص الخصائص المتقاربة لمتعددات الحدود هذه ويفحص العلاقة بين درجة متعددة الحدود وملعب الشبكة. يلقي هذا العمل الرائد الضوء على المنطقة التي لم يتم استكشافها سابقًا لزيادة درجة متعدد الحدود مع تقليل درجة الشبكة لكثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية على الشبكات المتجانسة. بالإضافة إلى ذلك، يستكشف المؤلف التقاربات بين عدد النقاط اللازمة للتقريب الدقيق من خلال متعددات الحدود المتعامدة على مجموعات غير متجانسة من النقاط. يبدأ الكتاب بمقدمة عميقة لنظرية متعددات الحدود المتعامدة على أنظمة النقاط المنفصلة، مما يوفر للقراء أساسًا صلبًا لفهم المفاهيم التالية. ثم يتعمق المؤلف في دراسة الخصائص المتقاربة لمتعددات الحدود هذه، مؤكداً على أهميتها في التطور الحديث للمعرفة.

불균일 한 점 세트에서 직교 다항식에 의한 근사 정확도에 필요한 점 수에 대한 점근 연구 결과가 제시됩니다. I. Sharapudinov의 "그리드 이론 및 응용에 관한 직교 다항식" 책은 이산 점 시스템에서 빠르게 발전하는 직교 다항식 영역에 대한 포괄적 인 개요를 제공합니다. 저자는이 다항식의 점근 적 특성을 조사하고 다항식의 정도와 그리드 피치 사이의 관계를 조사하면서이 이론의 기본 원리를 탐구합니다. 이 선구적인 작업은 균질 한 그리드에서 고전적인 직교 다항식의 그리드 피치를 줄이면서 다항식의 정도를 높이는 이전에 탐구되지 않은 영역을 밝힙니다. 또한, 저자는 불균일 한 점 세트에 대한 직교 다항식에 의한 정확한 근사에 필요한 점 수의 점근 학을 탐구합니다. 이 책은 개별 포인트 시스템에서 직교 다항식 이론에 대한 깊은 소개로 시작하여 독자에게 다음 개념을 이해하기위한 견고한 기반을 제공합니다. 그런 다음 저자는 이러한 다항식의 점근 적 특성에 대한 연구를 탐구하여 현대 지식 개발에서 그 중요성을 강조합니다.

近似精度に必要な直交多項式による不均一な点セットの近似精度に必要な点の数の漸近的研究の結果が示されている。I。 Sharapudinovの著書「グリッド理論と応用に関する直交多項式」は、離散点系における直交多項式の急速に発展している領域の包括的な概要を提供している。著者は、この理論の基本原理を掘り下げ、これらの多項式の漸近的性質を調べ、多項式の次数と格子ピッチの関係を調べます。この先駆的な研究は、これまで未解明だった多項式の次数を増加させながら、均質グリッド上の古典的な直交多項式のグリッドピッチを減少させるという領域に光を当てる。さらに、著者は、不均一な点の集合に関する直交多項式による正確な近似に必要な点の数の漸近論を探求する。この本は、離散点系における直交多項式の理論の深い紹介から始まり、読者に次の概念を理解するための確かな基礎を提供します。著者は次に、これらの多項式の漸近的性質の研究を掘り下げ、知識の近代的発展におけるその重要性を強調する。

介紹了非均勻點集上正交多項式近似精度所需的點數漸近性的研究結果。Sharapudinov I.I.撰寫的《網格正交的多項式理論與應用》一書全面概述了離散點系統上正交多項式的快速發展領域。作者深入研究了該理論的基本原理，研究了這些多項式的漸近性質，並研究了多項式的度與網格步長之間的關系。這項開創性的工作揭示了以前未開發的增加多項式程度的領域，同時減少了統一網格上經典正交多項式的網格步長。此外，作者研究了非均勻點集上正交多項式精確近似所需的點數的漸近性。該書首先深入介紹了離散點系統上的正交多項式理論，為讀者提供了理解以下概念的堅實基礎。然後，作者深入研究了這些多項式的漸近性質，強調了它們在現代知識發展中的重要性。