The book "Lectures on Constructive Mathematical Analysis" by the Soviet mathematicians A. N. Kolmogorov and I. M. Gel'fand is a seminal work that has had a profound impact on the field of mathematics and computer science. The book, published in 1957, presents a systematic approach to computational analysis, providing a clear understanding of the nature and properties of concepts such as computable real numbers and computable real functions. The authors present accurate statements and evidence of the insolubility of certain algorithmic analysis problems, making it an essential read for anyone interested in the field. The book is divided into four parts, each part focusing on a specific aspect of computational analysis. Part one introduces the basic concepts and definitions, while part two delves into the theory of computable functions and their properties. Part three explores the application of computational analysis to various branches of mathematics, including functional analysis, differential equations, and topology. Finally, part four discusses the relationship between computational analysis and other areas of mathematics, such as logic and probability theory. One of the key contributions of the book is the development of the concept of computable real numbers, which provides a framework for understanding the limits of computation. The authors demonstrate the importance of this concept by showing that many problems in algorithmic analysis are undecidable, meaning they cannot be solved by any algorithm.

Книга «Лекции по конструктивному математическому анализу» советских математиков А. Н. Колмогорова и И. М. Гельфанда является основополагающим трудом, оказавшим глубокое влияние на область математики и информатики. В книге, опубликованной в 1957 году, представлен системный подход к вычислительному анализу, обеспечивающий ясное понимание природы и свойств таких понятий, как вычислимые вещественные числа и вычислимые вещественные функции. Авторы представляют точные утверждения и доказательства неразрешимости определенных задач алгоритмического анализа, что делает его важным чтением для всех, кто интересуется этой областью. Книга разделена на четыре части, каждая часть посвящена определённому аспекту вычислительного анализа. Часть первая вводит основные понятия и определения, в то время как часть вторая углубляется в теорию вычислимых функций и их свойств. В третьей части рассматривается применение вычислительного анализа к различным разделам математики, включая функциональный анализ, дифференциальные уравнения и топологию. Наконец, в четвертой части обсуждается взаимосвязь между вычислительным анализом и другими областями математики, такими как логика и теория вероятностей. Одним из ключевых вкладов книги является разработка концепции вычислимых вещественных чисел, которая обеспечивает основу для понимания пределов вычислений. Авторы демонстрируют важность этой концепции, показывая, что многие задачи алгоритмического анализа неразрешимы, то есть не могут быть решены никаким алгоритмом.

livre « Conférences sur l'analyse mathématique constructive » des mathématiciens soviétiques A. N. Kolmogorov et I. M. Gelfand est un travail fondamental qui a eu un impact profond dans le domaine des mathématiques et de l'informatique. Un livre publié en 1957 présente une approche systémique de l'analyse informatique qui fournit une compréhension claire de la nature et des propriétés de concepts tels que les nombres réels déduits et les fonctions physiques déduites. s auteurs présentent des affirmations et des preuves précises de l'impossibilité de certaines tâches d'analyse algorithmique, ce qui en fait une lecture importante pour tous ceux qui s'intéressent à ce domaine. livre est divisé en quatre parties, chaque partie est consacrée à un aspect particulier de l'analyse informatique. La première partie introduit les concepts de base et les définitions, tandis que la deuxième partie est approfondie dans la théorie des fonctions déduites et de leurs propriétés. La troisième partie traite de l'application de l'analyse informatique à différentes sections des mathématiques, y compris l'analyse fonctionnelle, les équations différentielles et la topologie. Enfin, la quatrième partie traite de la relation entre l'analyse informatique et d'autres domaines des mathématiques, tels que la logique et la théorie des probabilités. L'une des principales contributions du livre est le développement du concept de nombres réels déduits, qui fournit une base pour comprendre les limites du calcul. s auteurs démontrent l'importance de ce concept en montrant que de nombreux problèmes d'analyse algorithmique sont insolubles, c'est-à-dire qu'aucun algorithme ne peut être résolu.

libro «Conferencias sobre análisis matemático constructivo» de los matemáticos soviéticos A. N. Kolmogorov e I. M. Gelfand es una obra fundamental que ha tenido una profunda influencia en el campo de las matemáticas y la informática. libro, publicado en 1957, presenta un enfoque sistémico del análisis computacional que proporciona una comprensión clara de la naturaleza y las propiedades de conceptos como los números reales computables y las funciones reales calculables. autores presentan afirmaciones y pruebas precisas de la indisolubilidad de ciertos problemas de análisis algorítmico, lo que lo convierte en una lectura importante para todos los interesados en este campo. libro está dividido en cuatro partes, cada parte está dedicada a un aspecto específico del análisis computacional. La primera parte introduce conceptos y definiciones básicas, mientras que la segunda parte profundiza en la teoría de las funciones computables y sus propiedades. La tercera parte examina la aplicación del análisis computacional a diferentes secciones de las matemáticas, incluyendo el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales y la topología. Finalmente, la cuarta parte discute la relación entre el análisis computacional y otras áreas de las matemáticas, como la lógica y la teoría de la probabilidad. Una de las contribuciones clave del libro es el desarrollo del concepto de números reales calculables, que proporciona una base para entender los límites de la computación. autores demuestran la importancia de este concepto, demostrando que muchos problemas del análisis algorítmico son insolubles, es decir, no pueden ser resueltos por ningún algoritmo.

O livro «Palestras de Análise Matemática Construtiva», dos matemáticos soviéticos A. N. Kolmogorov e E. M. Helfanda, é um trabalho fundamental que influenciou profundamente as áreas de matemática e informática. O livro, publicado em 1957, apresenta uma abordagem sistêmica da análise computacional que permite uma compreensão clara da natureza e das propriedades de conceitos como números materiais computáveis e funções materiais computáveis. Os autores apresentam alegações precisas e provas de que certas tarefas de análise algoritmicas não são resolvidas, tornando-a uma leitura importante para todos os interessados nesta área. O livro é dividido em quatro partes, cada parte é dedicada a um aspecto específico da análise computacional. A primeira parte introduz conceitos e definições básicas, enquanto a segunda parte se aprofunda na teoria das funções computáveis e suas propriedades. A terceira parte aborda a aplicação da análise computacional em várias seções da matemática, incluindo análise funcional, equações diferenciais e topologia. Finalmente, a quarta parte discute a relação entre a análise computacional e outras áreas da matemática, como a lógica e a teoria das probabilidades. Uma das principais contribuições do livro é o desenvolvimento do conceito de números materiais computáveis, que fornece uma base para a compreensão dos limites da computação. Os autores demonstram a importância deste conceito, mostrando que muitas tarefas de análise algoritmica não são resolvidas, ou seja, não podem ser resolvidas por nenhum algoritmo.

Il libro «zioni di analisi matematica costruttiva» dei matematici sovietici A. N. Kolmogorov e E. M. Helfanda è un lavoro fondamentale che ha influenzato profondamente il campo della matematica e dell'informatica. Il libro, pubblicato nel 1957, presenta un approccio di sistema all'analisi computazionale che fornisce una chiara comprensione della natura e delle proprietà di concetti quali i numeri reali calcolati e le funzioni fisiche calcolabili. Gli autori forniscono affermazioni precise e prove che determinate attività di analisi algoritmiche non sono risolte, rendendole una lettura importante per tutti coloro che sono interessati a questo campo. Il libro è suddiviso in quattro parti, ogni parte è dedicata ad un aspetto specifico dell'analisi computazionale. La prima parte introduce i concetti e le definizioni di base, mentre la seconda parte approfondisce la teoria delle funzioni calcolabili e le loro proprietà. La terza parte considera l'applicazione dell'analisi computazionale a diverse sezioni della matematica, tra cui analisi funzionali, equazioni differenziali e topologia. Infine, nella quarta parte si discute la relazione tra l'analisi computazionale e altre aree della matematica, come la logica e la teoria delle probabilità. Uno dei contributi chiave del libro è lo sviluppo di un concetto di numeri reali calcolabili che fornisce una base per comprendere i limiti del calcolo. Gli autori dimostrano l'importanza di questo concetto, dimostrando che molte attività di analisi algoritmiche sono irrisolvibili, cioè non possono essere risolte da alcun algoritmo.

Das Buch „ctures on Constructive Mathematical Analysis“ der sowjetischen Mathematiker A. N. Kolmogorov und I. M. Gelfand ist ein grundlegendes Werk, das den Bereich der Mathematik und Informatik tiefgreifend beeinflusst hat. Das 1957 veröffentlichte Buch stellt einen systematischen Ansatz für die rechnerische Analyse vor, der ein klares Verständnis der Natur und Eigenschaften von Konzepten wie berechenbaren reellen Zahlen und berechenbaren reellen Funktionen bietet. Die Autoren präsentieren genaue Aussagen und Beweise für die Unlösbarkeit bestimmter Probleme der algorithmischen Analyse, was sie zu einer wichtigen ktüre für jeden macht, der sich für dieses Gebiet interessiert. Das Buch ist in vier Teile unterteilt, wobei jeder Teil einem bestimmten Aspekt der Computeranalyse gewidmet ist. Teil eins führt die grundlegenden Konzepte und Definitionen ein, während Teil zwei in die Theorie der berechenbaren Funktionen und ihrer Eigenschaften eintaucht. Der dritte Teil befasst sich mit der Anwendung der Computeranalyse auf verschiedene Bereiche der Mathematik, einschließlich der Funktionsanalyse, der Differentialgleichungen und der Topologie. Schließlich wird im vierten Teil die Beziehung zwischen Computeranalyse und anderen Bereichen der Mathematik wie Logik und Wahrscheinlichkeitstheorie diskutiert. Einer der wichtigsten Beiträge des Buches ist die Entwicklung eines Konzepts für berechenbare reelle Zahlen, das eine Grundlage für das Verständnis der Grenzen der Berechnung bietet. Die Autoren demonstrieren die Bedeutung dieses Konzepts, indem sie zeigen, dass viele Probleme der algorithmischen Analyse unlösbar sind, dh von keinem Algorithmus gelöst werden können.

Książka „Wykłady o konstruktywnej analizie matematycznej” sowieckich matematyków A. N. Kolmogorov i I. M. Gelfand jest podstawowym dziełem, które miało ogromny wpływ na dziedzinę matematyki i informatyki. Książka, opublikowana w 1957 r., przedstawia systematyczne podejście do analizy obliczeniowej, zapewniając jasne zrozumienie charakteru i właściwości pojęć, takich jak liczbowe liczby rzeczywiste i funkcje rzeczywiste obliczeniowe. Autorzy przedstawiają precyzyjne stwierdzenia i dowody intrakcyjności pewnych problemów z analizą algorytmiczną, co czyni go ważnym dla każdego zainteresowanego tą dziedziną. Książka podzielona jest na cztery części, każda część poświęcona jest konkretnemu aspektowi analizy obliczeniowej. Część pierwsza wprowadza podstawowe pojęcia i definicje, natomiast część druga odkłada się na teorię funkcji obliczeniowych i ich właściwości. Trzecia część omawia zastosowanie analizy obliczeniowej do różnych gałęzi matematyki, w tym analizy funkcjonalnej, równań różniczkowych i topologii. W czwartej części omówiono relacje między analizą obliczeniową a innymi dziedzinami matematyki, takimi jak teoria logiki i prawdopodobieństwa. Jednym z kluczowych wkładów książki jest opracowanie koncepcji liczbowych liczb rzeczywistych, która zapewnia ramy dla zrozumienia granic obliczeń. Autorzy pokazują znaczenie tej koncepcji pokazując, że wiele problemów z analizą algorytmiczną jest nierozwiązalnych, czyli nie można ich rozwiązać żadnym algorytmem.

הספר ”הרצאות על אנליזה מתמטית קונסטרוקטיבית” מאת המתמטיקאים הסובייטים א. נ. קולמוגורוב וי. מ. גלפנד הוא עבודה יסודית שהשפיעה עמוקות על תחום המתמטיקה ומדעי המחשב. הספר, שיצא לאור בשנת 1957, מציג גישה שיטתית לניתוח חישובי, המספקת הבנה ברורה של טבעם ותכונותיהם של מושגים כגון מספרים ממשיים חישוביים ופונקציות ממשיות חישוביות. המחברים מציגים הצהרות והגהות מדויקות של חוסר האטרקטיביות של בעיות אנליזה אלגוריתמית מסוימות, מה שהופך אותה לקריאה חשובה עבור כל מי שמתעניין בתחום. הספר מחולק לארבעה חלקים, כל חלק מוקדש להיבט מסוים של ניתוח חישובי. חלק ראשון מציג מושגים בסיסיים והגדרות, בעוד חלק שני מתעמק בתאוריה של פונקציות חישוביות ותכונות שלהם. החלק השלישי דן ביישום של אנליזה חישובית לענפים שונים של מתמטיקה, כולל אנליזה פונקציונלית, משוואות דיפרנציאליות וטופולוגיה. לבסוף, החלק הרביעי דן בקשר שבין אנליזה חישובית לתחומים אחרים במתמטיקה, כגון לוגיקה ותורת ההסתברות. אחת מתרומותיו המרכזיות של הספר היא פיתוח המושג מספרים ממשיים חישוביים, המספק מסגרת להבנת גבולות החישוב. המחברים מדגימים את חשיבותו של מושג זה בכך שהם מראים שבעיות רבות של ניתוח אלגוריתמי אינן פתירות, כלומר, לא ניתן לפתור אותן על ידי אלגוריתם כלשהו.''

Sovyet matematikçiler A. N. Kolmogorov ve I. M. Gelfand'ın "ctures on Constructive Mathematical Analysis'adlı kitabı, matematik ve bilgisayar bilimleri alanında derin bir etkisi olan temel bir çalışmadır. 1957'de yayınlanan kitap, hesaplamalı analize sistematik bir yaklaşım sunarak, hesaplanabilir gerçek sayılar ve hesaplanabilir gerçek fonksiyonlar gibi kavramların doğası ve özellikleri hakkında net bir anlayış sağlar. Yazarlar, belirli algoritmik analiz problemlerinin kararsızlığına dair kesin ifadeler ve kanıtlar sunmakta ve bu da alanla ilgilenen herkes için önemli bir okuma yapmaktadır. Kitap dört bölüme ayrılmıştır, her bölüm hesaplamalı analizin belirli bir yönüne ayrılmıştır. Birinci bölüm temel kavramları ve tanımları ortaya koyarken, ikinci bölüm hesaplanabilir fonksiyonlar ve özellikleri teorisine girer. Üçüncü bölüm, hesaplamalı analizin fonksiyonel analiz, diferansiyel denklemler ve topoloji dahil olmak üzere matematiğin çeşitli dallarına uygulanmasını tartışmaktadır. Son olarak, dördüncü bölüm, hesaplama analizi ile mantık ve olasılık teorisi gibi matematiğin diğer alanları arasındaki ilişkiyi tartışmaktadır. Kitabın en önemli katkılarından biri, hesaplamanın sınırlarını anlamak için bir çerçeve sağlayan hesaplanabilir gerçek sayılar kavramının geliştirilmesidir. Yazarlar, birçok algoritmik analiz probleminin çözülemez olduğunu, yani herhangi bir algoritma tarafından çözülemeyeceğini göstererek bu kavramın önemini göstermektedir.

كتاب «محاضرات حول التحليل الرياضي البناء» لعالمي الرياضيات السوفييت أ. ن. كولموغوروف و ي. م. جيلفاند هو عمل أساسي كان له تأثير عميق على مجال الرياضيات وعلوم الكمبيوتر. يقدم الكتاب، الذي نُشر في عام 1957، نهجًا منهجيًا للتحليل الحسابي، مما يوفر فهمًا واضحًا لطبيعة وخصائص المفاهيم مثل الأرقام الحقيقية القابلة للحساب والوظائف الحقيقية القابلة للحساب. يقدم المؤلفون عبارات ودلائل دقيقة على استعصاء بعض مشاكل التحليل الخوارزمي، مما يجعلها قراءة مهمة لأي شخص مهتم بهذا المجال. ينقسم الكتاب إلى أربعة أجزاء، كل جزء مخصص لجانب محدد من التحليل الحسابي. يقدم الجزء الأول المفاهيم والتعاريف الأساسية، بينما يتعمق الجزء الثاني في نظرية الوظائف القابلة للحساب وخصائصها. يناقش الجزء الثالث تطبيق التحليل الحسابي على مختلف فروع الرياضيات، بما في ذلك التحليل الوظيفي والمعادلات التفاضلية والطوبولوجيا. أخيرًا، يناقش الجزء الرابع العلاقة بين التحليل الحسابي والمجالات الأخرى للرياضيات، مثل المنطق ونظرية الاحتمالات. أحد المساهمات الرئيسية للكتاب هو تطوير مفهوم الأرقام الحقيقية القابلة للحساب، والتي توفر إطارًا لفهم حدود الحساب. يوضح المؤلفون أهمية هذا المفهوم من خلال إظهار أن العديد من مشاكل التحليل الخوارزمي غير قابلة للحل، أي أنه لا يمكن حلها بأي خوارزمية.

소비에트 수학자 A.N. Kolmogorov와 I. M. Gelfand의 "건축 수학 분석 강의" 책은 수학 및 컴퓨터 과학 분야에 큰 영향을 미쳤던 기본 작업입니다. 1957 년에 출판 된이 책은 계산 가능한 실수 및 계산 가능한 실제 함수와 같은 개념의 본질과 속성에 대한 명확한 이해를 제공하는 계산 분석에 대한 체계적인 접근 방식을 제공합니다. 저자는 특정 알고리즘 분석 문제의 다루기 어려움에 대한 정확한 진술과 증거를 제시하여 해당 분야에 관심이있는 모든 사람에게 중요한 독서입니다. 이 책은 네 부분으로 나뉘며 각 부분은 계산 분석의 특정 측면에 전념합니다. 1 부는 기본 개념과 정의를 소개하고 2 부는 계산 가능한 함수 이론과 그 속성을 탐구합니다. 세 번째 부분은 기능 분석, 미분 방정식 및 토폴로지를 포함하여 다양한 수학 분야에 계산 분석을 적용하는 방법에 대해 설명합니다. 마지막으로, 네 번째 부분은 계산 분석과 논리 및 확률 이론과 같은 다른 수학 영역 간의 관계에 대해 설명합니다. 이 책의 주요 공헌 중 하나는 계산 가능한 실수 개념을 개발하여 계산 한계를 이해하기위한 프레임 워크를 제공하는 것입니다. 저자는 많은 알고리즘 분석 문제, 즉 어떤 알고리즘으로도 해결할 수 없음을 보여줌으로써이 개념의 중요성을 입증합니다.

ソ連の数学者A。 N。 KolmogorovとI。 M。 Gelfandによる著書「建設的数学的分析に関する講義」は、数学と計算機科学の分野に大きな影響を与えた基礎的な研究である。1957に出版されたこの本は、計算可能な実数や計算可能な実数関数などの概念の性質と性質を明確に理解するための、計算解析に対する体系的なアプローチを提示している。著者たちは、特定のアルゴリズム解析問題の侵入性の正確な記述と証明を提示しており、この分野に興味のある人にとって重要な読解となっている。本は4つの部分に分かれており、各部分は計算解析の特定の側面に捧げられています。パート1では基本的な概念と定義を紹介し、パート2では計算可能関数の理論とその性質を詳しく説明します。第3部では、関数解析、微分方程式、トポロジーなど、数学の様々な分野への計算解析の応用について説明します。最後に、第4部では、論理理論や確率論といった数学の他の分野との関係について解説します。この本の主要な貢献の1つは、計算可能な実数の概念の開発であり、計算の限界を理解するためのフレームワークを提供する。著者たちは、多くのアルゴリズム解析問題が解決不可能であること、すなわちアルゴリズムでは解決できないことを示し、この概念の重要性を実証している。

蘇聯數學家A. N. Kolmogorov和I. M. Gelfand撰寫的「建設性數學分析講座」書是對數學和計算機科學領域產生深遠影響的開創性著作。該書於1957出版，提出了一種系統化的計算分析方法，可以清楚地了解可計算實數和可計算實數等概念的性質和性質。作者提供了某些算法分析任務無法解決的確切陳述和證據，使其成為對該領域感興趣的任何人的重要閱讀。本書分為四個部分，每個部分都涉及計算分析的特定方面。第一部分介紹了基本概念和定義，第二部分深入研究了可計算函數及其屬性的理論。第三部分探討了計算分析在數學各個部分中的應用，包括功能分析，微分方程和拓撲。最後，第四部分討論了計算分析與其他數學領域（例如邏輯和概率論）之間的關系。本書的主要貢獻之一是開發了可計算實數的概念，該概念為理解計算的極限提供了框架。作者通過證明許多算法分析任務是無法解決的，即任何算法都無法解決來證明該概念的重要性。